ブラックショールズモデルの公式!!続編

    

ブラックショールズモデルの公式を
理解してる?

  
ブラックショールズモデルの公式 1973年にシカゴでオプション取引所が開設された。それと時を同じくして ブラック-ショールズモデルは同年にフィッシャー・ブラック(Fischer Black)と マイロン・ショールズ(Myron Scholes)が共同で発表したオプションの評価モデルであり、 このモデルを使ってヨーロピアン・コールオプション(満期日にのみ権利を行使できるオプション) の理論値が導出可能になった。 このブラックショールズモデルの公式による、現代金融工学が はじまったといったも過言ではないであろう。

ブラックショールズモデルの公式

ブラックショールズモデルの公式



ただし、



上記は、満期 T において行使価格が K であるヨーロッパ型コールのオプション料 C = C(St, t) についての、ブラックショールズモデルの公式である。 時刻 t における株価が St、 σ はボラティリティで株価の変動の激しさを表し、 μ はドリフト項で株価の平均増加率を表すものである。


ブラックショールズモデルの公式の不思議−熱伝導方程式−


ブラックショールズモデルの公式は、 フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズにより構築されたが、 それを数学的に証明したのは、ロバート・マートンであった。彼は、日本人の数学者 伊藤清による、微積分の公式「伊藤の公式」を用いて、数式の展開をはかり、 ブラックショールズモデルの公式を導いた。

しかし、興味深いのが、伊藤の公式により変換され導きだされた数式が、偏微分方程式 における典型的なパターンである熱伝導方程式と等価であるということである。ここに ブラックショールズモデルの公式の奥の深さがある。 つまり、物理の世界と経済の世界が法則的につながる部分があったとということである。


プラチナム ブラックショールズモデルの公式の
不思議−2項過程−

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ブラックショールズモデルの公式が熱伝導方程式と 等価であることも驚きだが、実は数学的な美しさはそれだけではないのだ。 それは、2項株価過程からも、全く同じ式が導きだせるという事実である。

2項株価過程とは、時間をtとしt+1期に株価がu円上昇している確率をp u円下降している確率を(1-p)として組み立てられたモデルである。これを tを連続時間で扱えるように極限にもっていき、中心極限定理を用いることに よって、なんと確率微分方程式から導出された、 ブラックショールズモデルの公式と全く同じ式が出現するの である。これは驚くべき事実であり、ブラックショールズモデルの公式 がインパクトを持って、認知された所以である。


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